为什么是无理数？（这里暂不讨论负根）
我们可以首先对它的大小有个粗略估计，因为它被定义为2的平方根，所以我们可以从平方数入手来推算它的大小范围：
(=1)<(=2)<(=4)
所以的值肯定介于1和2之间，比如是1.3、1.4……之类的。
因为有理数都可以写成分数的形式（其中、都是整数，非零），这也是有理数的定义，比如：
1=、0=、0.5=、0.3333……=、=1.125、
0.589285714 285714 285714 285714……=等等都是有理数。
证明是无理数，我们可以用反证法。
我们假设是有理数，那么肯定=某个，首先我们可以逐步假设，来讨论并尝试性地思索一下，形成一个粗略的认识：
在=中，首先和都不会为零。
假设=1：那么绝对不能等于1，因为那样=1，所以在这时作为整数只能是2的，假设=2，则=，而前面已经说过肯定是大于1小于2的，所以2是绝对不成立的，而在本假设下只能2，所以=1的假设不成立，绝对2。
假设=2：那么既不能取1也不能取2，因为==2，==1与“肯定是大于1小于2”相违背的，但是如果继续沿着数轴取值，=<1，所以3的所有整数都与“肯定是大于1小于2”相违背的，这时无法取任何整数，所以本假设也不成立，也绝对不能等于2。
假设=3：那么根据上面的推理过程，取1、2、3以及大于3的整数都不成立，你可以口算一下。
好了，我们尝试性的思索就停在这里吧，现在可以归纳了，即如果可以写成的形式，绝对会取大于3的某一个整数，而肯定取的是/2和之间的某个整数，而且我们排除了取1和2的可能（可以口算出来当=4的时候就会把取2排除掉）。
假设已经找到了某个=，根据分式的运算规则，和都应该能化简成互相没有公因式的两个互质整数，比如=，和互质。
我们为什么在上面徜徉思索了那么长时间，就是为了表明，如果=成立，那么n和m是有底线的，它们绝对不会小到1、2、3，而且也不会小到4、5、6去，它们上下约分后化为互质的两个数绝对是两个比较大的整数。
就算上下还可以再约分，它也不会无休止地进行下去，也肯定会卡在某个地方再也不能约分，这时就是和的取值。
好了，关键的时刻到了！
设=，和就是最终那两个互质的整数值，那么=，就有，这里明显可以看出，是个偶数。
让我们暂停一下，来回顾一下，设是偶数，=(为任意整数)，那么，一个偶数的平方依然绝对是一个偶数；如果是奇数，，那么，一个奇数的平方依然绝对是一个奇数。
所以反过来说，如果是偶数，那么不可能为奇数，它必须为偶数，因为奇数的平方依然是奇数。
所以可以设。
把代入得到。
我们又看到了一丝曙光，上式后两项可以再约去2，于是，哈哈！大家应该马上就能明白一件事情，竟然也是偶数，它还说明了一件事情，肯定也为偶数。
我们转了半天，原来=，这里面的和竟然都是偶数。
和都是偶数，说明一个严重的事实，和不互质！！
所以只能断定假设肯定是错误的。
所以肯定是无理数！